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圆内接三角形
圆压轴题八大模型题（四）
泸州市七中佳德学校  易建洪
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性帮助考生解决问题。

如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点.
(1) 求证：PA＝PB＋PC；
(2) 设PA、BC交于点M，
1 若BP＝4，PC＝2，求CM的长度.
2 若AB＝4，PC＝2，求CM的长度.

【分析】
(2)①⊙O中△ABM∽△CPM, ∴
设MC=x，则AM=2x,MN=2-x，又AN=2,

【典例】
（2018·湖南常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．


（1）求证：EA是⊙O的切线；


（2）求证：BD＝CF．


【解答】证明：

（1）连接OD，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，
∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，
∴∠OAE＝∠OAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，



（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，
∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，
∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAF＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，∴△BAD≌△CAF，
∴BD＝CF．

【点拨】

【变式运用】

2.如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.


（1）求证：FB＝FC；


（2）FB2＝FA·FD；


（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长.
证明：

（1）∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC.
∵四边形AFBC内接于圆，

∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC.


（2）∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，
∴△FBA∽△FDB，∴
∴FB2＝FA·FD.


（3）解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°.∵∠EAC＝120°，
∴∠DAC＝∠EAC＝60°.
∵四边形ACBF内接于圆，
∴∠DAC＝∠FBC＝60°，又FB＝FC，
∴△BFC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BFC＝60°，
∴∠D＝30°.∵BC＝6，∴AC＝2，
∴AD＝2AC＝4．
3.（2016·德阳）如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点.M是BD上一点，且满足DM＝DC，点E是AC与BD的交点.


（1）求证：CM//AD；


（2）如果AD＝1，CM＝2.求线段BD的长及△BCE的面积.
解：

（1）∵ABC是正三角形，
∴,∴∠ADB＝∠BDC＝60°，
又∵DM＝DC，∴CDM是等边三角形，
即DM＝CM＝CD，
∴∠DMC＝60°，∴∠ADB＝∠DMC＝60°，
∴CM∥AD；


（2）∵∠DAC＝∠DBC，∠BMC＝∠ADC＝120°，
而AC＝BC，∴ADC≌BMC，∴BM＝AD＝1，

由

（1）可得，ADE∽CME，而AD＝1，CM＝2，
∴
又∵MD＝2，∴DE＝，ME＝，
∵，且点E在线段AC上，∴AE＝AC，
∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ABD＝∠ACD，
∴ABE∽DCE，∴, ∴,
又∵AB＝AC，∴AB2＝7，即AB＝＝BC,
∵AD＝1,CM＝2,CM＝CD,∴AD:CD＝
1:2,
又∵∠ADE＝∠CDE＝60°，∴BD平分∠ADC，
∴AE：CE＝AD：CD＝
1：2，∴CE＝AC，
∴SBCE＝×SABC＝××()2＝.    。

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