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无穷等比数列求和公式 数列求和教学目标 掌握数列求和的方法与技巧
教学重点 掌握数列求和的方法
一、利用常用求和公式求和
1、等差数列求和公式 [
2、等比数列求和公式:
【巩固练习】1:已知数列的通项公式为,为的前n项和,求;
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例2] 求数列前n项的和.
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.
[例3] 求的值
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
[例4] 求数列的前n项和:,…
练习
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
(1)
(2)
[例5] 求数列的前n项和.
练习 在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
数列的概念
(二)
前一节我们已经讲过,利用等式 ,采用“裂项法”能很快求出 这类问题的结果来,把这一等式略加推广便得到另一等式: ,现利用这一等式来解一些分数的计算问题。
【典型例题】例1. 分析与解:此题如按异分母加法法则来求和,计算量太大,下面用裂项法试一试。下面我们用 ,现在给 、 一些具体的值,看看有什么结果。当 时,有 当 时,有 当 时,有 ……当 时,有 当 时,有 上面这998个等式左边的分数,其分母分别与题目中各加数的分母一样,只是分子是2不是1,但是很容易将题目中各数的分子变为2,例如 ,……,这样采用裂项法也能较快求出结果来。
因为 ,……, ,
所以
例2.
因为
所以
同样可得
一般地,因为
这里 是任意一个自然数。
利用这一等式,采用裂项法便能较快地求出例2的结果。
例3. 计算:
分析与解:
而
即
连续使用上面两个等式,便可求出结果来。
【模拟试题】(答题时间:15分钟)二. 尝试体验1. 求和: 2. 求和: 3. 求和:
【试题答案】
1. 求和: 2. 求和: 3. 求和:
数列通项的求法。