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连续的 解析：⑴连续函数与函数极限的联系：直观地讲,当自变量的改变量()非常小时函数相应的改变量也非常小,则就叫做连续函数。⑵ 由于的引入使得在某点连续扩展到区间连续。
⑶ 该定义体现了自变量所对应的点填满了整条曲线.换句话说.曲线可以一笔画出.
⑷ 表明了可导与连续的关系。
⑸ 用定义证明函数连续性的一般步骤：①检查函数在点处及其附近是否有定义②两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠求极限㈡根据自变量的初值和终值求出函数的增量③ 两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠检验与是否相等㈡求极限是否为0。
3 单侧连续（左（右）连续）：设在某个（或）上有定义，如果=（或=）则称在点=右（左）连续。
左(右)连续与连续之间的关系:在某点既左连续又右连续则记称在该点连续。
解析:类比于单侧极限。
4. 一致连续性(区间连续性):设函数f(x)在区间I上有定义,如果对于任意给定的正数总存在着正数使得对于区间I上的任意两点当时就有,那么称函数在区间上是一致连续的.如果函数在上连续那么它在该区间上一致连续。
解析: ⑴与柯西(Cauchy)准则的联系。
⑵如果函数在某区间上每一点都连续则称在该区间上连续.如果函数在非开区间内每一点连续,而在端点处单侧连续(即在左端点右连续,在右端点左连续)则称在整个区间上一致连续。
二，函数的间断点及其分类:
1 定义:使函数不连续的点叫做函数的间断点(或不连续点)。
解析: 间断情况的三种情形(函数在点的某去心邻域内有定义)⑴在=没有定义。
⑵虽然在=有定义但不存在。⑶虽在=有定义且存在但≠。
2 间断点的分类(按照函数在间断点处的左右极限是否存在)⑴第一类间断点:当在间断点的左右极限都存在时,就叫做的第一类间断点。(其中第一类间断点包括可去间断点(对该点通过补充定义可以连续)和不可去间断点(或跳跃间断点))即:①第一类可去间断点:函数在点处无定义,但存在或函数在点处有定义为但≠(特点:函数在点处间断但有极限)②不可去间断点(或跳跃间断点): 函数在点处的两个单侧极限存在,但函数在该点无极限,即≠③第一类间断点定理:设函数在开区间I上单调,如果存在间断点的话,则函数在开区间I上只有第一类间断点⑵第二类间断点:当函数在间断点处的左右极限至少有一个不存在时,就叫做的第二类间断点.( 其中第二类间断点包括无穷大间断点和无穷振荡间断点)即:①无穷大间断点:如果在点处函数的极限为无穷大,则称点为第二类无穷大间断点②第二类无穷振荡间断点:如果当时函数产生无穷振荡(函数值在某一范围之间变动无限多项)则点称为函数的第二类无穷振荡间断点。
三，连续函数的性质:
1 四则运算性质:有限个连续函数的和差积商仍为连续函数。
2 复合运算: 有限个连续函数的复合仍为连续函数。
3 连续函数与函数极限的关系:若函数为连续函数,那么进行极限运算时可将极限符号移入函数符号之内,达到简化目的。
4 局部性质(极限角度) (1). 局部保号性:设函数:I在点连续且则存在当时有⑵局部有界性:设函数:I在点连续,则存在使在上有界。
5 如果函数在点连续则在点也连续(利用极限定义证明)特别地,若及都是连续函数则,及也是连续的即:。
6 闭区间上连续函数的性质: ⑴最值定理:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值和最小值(有界性)
解析:在闭区间上连续的函数在这个区间上取得最大(小)值是唯一的（值域的角度）,但取得最大(小)值的最大(小)值点则不一定是唯一的（定义域的角度）。
⑵介值定理:设函数在闭区间上连续且在区间的端点取不同的函数值: =及=,那么对于与之间的任意一个数在开区间内至少有一点使得(
