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相对平均偏差计算公式
标准偏差
出自 MBA智库百科(/)
标准偏差(也称标准离差或均方根差)是反映一组测量数据离散程度的统计指标。是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。是正态分布的重要参数之一。是测量变动的统计测算法。
它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。
标准偏差在误差理论、质量管理、计量型抽样检验等领域中均得到了广泛的应用。因此, 标准偏差的计算十分重要, 它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中, 不少人不论测量次数多少, 均按贝塞尔公式计算。
样本标准差的表示公式
数学表达式:

l S-标准偏差(%)
l n-试样总数或测量次数,一般n值不应少于20-30个
l i-物料中某成分的各次测量值,1~n;
标准偏差的使用方法
z
l 在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。
l 如果价格保持平稳,这个指标值不高。
l 在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低。
标准偏差的计算步骤
标准偏差的计算步骤是:
步骤一、(每个样本数据 - 样本全部数据之平均值)2。

步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)(“n”指样本数目)。

步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。

六个计算标准偏差的公式[1]
标准偏差的理论计算公式
设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l

1、l

2、……ln。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有    σ1 = li − X
σ2 = l2 − X
……
σn = ln − X
我们定义标准偏差(也称标准差)σ为



(1)
由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式
由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)Vi来代替真差σ , 即

设一组等精度测量值为l

1、l

2、……ln
则 

……

通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为

将上式代入式(1)有

(2)
式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。

它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时,,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为
(2")
在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有

于是, 式(2")可写为
(2")
按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。

标准偏差σ的无偏估计
数理统计中定义S2为样本方差

数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。而式(2")在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就是说S和σ之间存在系统误差。
概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为
(3)


即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数, Kσ值见表。
计算Kσ时用到
Γ(n + 1) = nΓ(n)

Γ(1) = 1
由表1知, 当n>30时, 。
因此, 当n>30时, 式(3")和式(2")之间的差异可略而不计。在n=30~50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度, 这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R

1、, 再由各组极差求出极差平均值。

极差平均值和总体标准偏差的关系为

需指出, 此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。
再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。
标准偏差σ的平均误差估计
平均误差的定义为


误差理论给出
(A)
可以证明与的关系为
(证明从略)

于是    (B)
由式(A)和式(B)得

从而有



式(6)就是佩特斯(.1856)公式。
用该公式估计δ值, 由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。
标准偏差的应用实例[1]
对标称值Ra = 0.160 < math > μm < math > 的一块粗糙度样块进行检定, 顺次测得以下15个数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63μm, 试求该样块Rn的平均值和标准偏差并判断其合格否。
解:1)先求平均值


2)再求标准偏差S
若用无偏极差估计公式式(5)计算, 首先将测得的, 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个, 见表3。
表3
组号
l_1
l_5
R
1
1.48
1.65
1.60
1.67
1.52
0.19
2
1.46
1.72
1.69
1.77
1.64
0.31
3
1.56
1.50
1.64
1.74
1.63
0.24
因每组为5个数据, 按n=5由表2查得


若按常用估计即贝塞尔公式式(2") , 则

若按无偏估计公式即式(3")计算, 因n=15,由表1查得Kδ = 1.018, 则

若按最大似然估计公式即式(4")计算, 则


= 0.09296( < math > μm < math > )
若按平均误差估计公式即式(6), 则


现在用式(5")对以上计算进行校核

可见以上算得的S、S

1、S

2、S3和S4没有粗大误差。
由以上计算结果可知0.09296

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