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相对平均偏差计算公式 标准偏差出自 MBA智库百科(/)
相对标准方差的计算公式
准确度：测定值与真实值符合的程度绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用δ表示。相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。
绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。
例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm，该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，该尺测量的绝对误差为0.1mm。例：分析天平称量误差为0.1mg, 减重法需称2次，可能的最大误差为0.2mg, 为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品。答：称量样品量应不小于0.2g。真值（μ）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。
标准值：采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。偏差：单次测量值与样本平均值之差： 平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。
相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。标准偏差：各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。相对标准偏差（变异系数）例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%），计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。准确度与精密度的关系：1）精密度是保证准确度的先决条件：精密度不符合要求，表示所测结果不可靠，失去衡量准确度的前提。
2）精密度高不能保证准确度高。换言之，准确的实验一定是精密的，精密的实验不一定是准确的。
重复性试验 按拟定的含量测定方法，对同一批样品进行多次测定(平行试验至少5次以上，即n>5)，计算相对标准偏差(RSD)，一般要求低于5%
数学表达式：
l S-标准偏差（%）
l n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个
l i-物料中某成分的各次测量值，1～n；
标准偏差的使用方法
六个计算标准偏差的公式[1]
标准偏差的理论计算公式
设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l
1、l
2、……ln。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有 σ1 = li − X
σ2 = l2 − X
……
σn = ln − X
我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
（1）
由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式
由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差σ , 即
设一组等精度测量值为l
1、l
2、……ln
则
……
通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为
将上式代入式(1)有
(2)
式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为
(2")
在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有
于是, 式(2")可写为
(2")
按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。
标准偏差σ的无偏估计
数理统计中定义S2为样本方差
数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。
而式(2")在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为
(3)
令
则
即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数, Kσ值见表。
计算Kσ时用到
Γ(n + 1) = nΓ(n)
Γ(1) = 1
由表1知, 当n>30时, 。因此, 当n>30时, 式(3")和式(2")之间的差异可略而不计。
在n=30～50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度, 这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R
1、, 再由各组极差求出极差平均值。
极差平均值和总体标准偏差的关系为
需指出, 此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。
标准偏差σ的平均误差估计
平均误差的定义为
误差理论给出
(A)
可以证明与的关系为
(证明从略)
于是 (B)
由式(A)和式(B)得
从而有
式(6)就是佩特斯(.1856)公式。用该公式估计δ值, 由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。
该式使用条件与贝塞尔公式相似。
标准偏差的应用实例[1]
对标称值Ra = 0.160 < math > μm < math > 的一块粗糙度样块进行检定, 顺次测得以下15个数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63μm, 试求该样块Rn的平均值和标准偏差并判断其合格否。
解：1)先求平均值
2)再求标准偏差S
若用无偏极差估计公式式(5)计算, 首先将测得的, 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个, 见表3。
表3
组号
l_1
l_5
R
1
1.48
1.65
1.60
1.67
1.52
0.19
2
1.46
1.72
1.69
1.77
1.64
0.31
3
1.56
1.50
1.64
1.74
1.63
0.24
因每组为5个数据, 按n=5由表2查得
故
若按常用估计即贝塞尔公式式(2") , 则
若按无偏估计公式即式(3")计算, 因n=15，由表1查得Kδ = 1.018, 则
若按最大似然估计公式即式(4")计算, 则
= 0.09296( < math > μm < math > )
若按平均误差估计公式即式(6), 则
现在用式(5")对以上计算进行校核
可见以上算得的S、S
1、S
2、S3和S4没有粗大误差。
由以上计算结果可知0.09296
