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3333333 湖南大学研究生课程考试命题专用纸
考试科目： 工程数学 专业年级：2011级专业型硕士研究生
考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120分钟
注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
一． 填空题（每小题5分，共30分）
1. 用作为圆周率的近似值时，有位有效数字。
2. 要使迭代法局部收敛到则的取值范围是 .
3. 若则谱条件数.
4. 设为个互异的插值节点，为拉格朗日插值基函数，则
.
5. 已知实验数据
0
1
2
3
1
2
4
5
则拟合这组数据的直线为.
6. 要使求积公式具有2次代数精度，则
，
二． ( 11分) 给定方程
(1) 证明该方程在区间内存在唯一实根
(2) 用牛顿迭代法求出的近似值，取初值要求
三．( 10分) 用高斯列主元素消去法解线性方程组
四．(10分) 给定线性方程组
写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收敛性。
五．(13分) 试根据数表
0
2
10
14
16
1
－1
构造Hermite (埃尔米特)插值多项式
六．(10分) 求常数使积分取最小值。
七．(16分) 用龙贝格方法求积分
的近似值，要求误差不超过
工程数学试题参考答案
一． (1) 7 (2) (3) 3 (4)
(5) (6)
二． 解. (1) 因为
所以由零点定理和单调性知原方程在内存在唯一实根 (4分)
(2) 牛顿迭代格式为
(7分)
取初值计算结果如下：
0
1
2
3
4
1.5
1.238095
1.196815
1.195824
1.195823
(11分)
三．解. (2分)
(4分) (5分)
(7分)
等价的上三角形方程组为
回代得 (10分)
四. 解. 雅可比迭代格式为
雅可比迭代矩阵
(5分)
其特征方程 的特征值
(8分) 因为谱半径所以雅可比迭代法收敛。 (10分)
五．列表计算差商
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
－1
10
－1
10
1
0
14
4
3
2
16
1
－1
2
16
－1
－1
0
(10分)
(13分)
六．解. 取定义内积
则
(5分)
正规方程组为
(8分)
解得
(10分)
七. 解. 计算结果见下表
0
1.3333333
1
1.1666667
1.1111112
2
1.1166667
1.1000000
1.0992593
3
1.1032107
1.0987254
1.0986404
1.0986306
(14分)
因为所以 (16分)
湖南大学研究生
课程考试命题专用纸
考试科目： 工程数学(A卷) 专业年级：2014级专业型硕士研究生
考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120分钟
注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
三． 填空题（每小题4分，共20分）
1. 设则导数值有位有效数字。
2. 若则，条件数.
3. 设，则差商， .
4. 拟合三点的直线是.
5. 参数时，求积公式的代数精
度达到最高，此时代数精度为 .
四． (12分) 给定方程
(3) 证明该方程在区间内存在唯一实根
(4) 写出牛顿迭代法求的迭代格式；
(5) 若取初值牛顿迭代法是否收敛。
若收敛，指出收敛阶数。
3．( 12分)用三角分解法解线性方程组
四．( 16分) 分别给出用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组
时，对任意初始向量都收敛的充要条件.
五．(16分)用插值法求一个二次多项式使得曲线在处与曲线
相切，在处与相交，并证明
六．(12分) 求在上的一次最佳平方逼近多项式。
7．(12分) 已知函数表
0
0.125
0.250
0.375
0.500
1
0.9973978
0.9896158
0.9767267
0.9588510
0.625
0.750
0.875
1
0.9361556
0.9088516
0.8771925
0.8414709
请分别用的复化梯形公式和的复化辛浦生公式计算积分的
近似值.（取7位浮点数）
工程数学试题(A卷)参考答案
一． (1) 3 (2) (3) (4)
(5) .
2． 解. (1) 因为在上连续，并且
所以由零点定理和单调性知原方程在内存在唯一实根 (4分)
(2) 牛顿迭代格式为
(8分)
⑶因为所以牛顿迭代法收敛，
且收敛阶为2. (12分)
三. 解. 用杜里特尔分解法求解。按紧凑格式计算得
于是得
( 9分)
回代求解上三角形线性方程组得原方程组的解为
即 ( 12分)
4．解. 雅可比迭代矩阵
其特征方程为
( 4分)
的谱半径所以J法收敛的充要条件是. (8分)
赛德尔迭代矩阵
其特征方程为
(12分)
的谱半径所以G-S法收敛的充要条件是.(16分)
5．解. 由条件得
(3分)
( 6分)
作差商表
一阶差商
二阶差商
0
1
0
1
0
0
( 9分)
( 12分)
记令得所以
故
( 16分)
6．解. (1) 取并设一次最佳平方逼近多项式为则
(6分)
正规方程组为 ( 8分) 解得
故所求的最佳平方逼近多项式为 (12分)
7．解.
. ( 6分)
= ( 12分)
湖南大学研究生
课程考试命题专用纸
考试科目： 数值分析 （A卷）参考答案 专业年级： 11级各专业
考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟
注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
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