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圆内接三角形
三角形的外接圆与内切圆半径的求法
江苏省海安县曲塘镇花庄初中
(226661)马金全
一、求三角形的外接圆的半径

1、直角三角形
如果三角形是直角三角形,那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.
例1已知:在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=5
求△ABC的外接圆的半径.
解:∵AB=13,BC=12,AC=5,
∴AB2=BC2+AC2,
∴∠C=90°,
∴AB为△ABC的外接圆的直径,
∴△ABC的外接圆的半径为6.5.

2、一般三角形
①已知一角和它的对边
例2如图,在△ABC 中,AB=10,∠C=100°,
求△ABC外接圆⊙O的半径.(用三角函数表示)
分析:利用直径构造含已知边AB的直角三角形.
解:作直径BD,连结AD.
则∠D=180°-∠C=80°,∠BAD=90°
∴BD==
∴△ABC外接圆⊙O的半径为.
注:已知两边和其中一边的对角,以及已知两角和一边,都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.
例3如图,已知,在△ABC 中,AB=10,∠A=70°,∠B=50°
求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析:可转化为①的情形解题.
解:作直径AD,连结BD.
则∠D=∠C=180°-∠CAB-∠BAC=60°,∠DBA=90°
∴AD===
∴△ABC外接圆⊙O的半径为.
②已知两边夹一角
例4如图,已知,在△ABC 中,AC=2,BC=3,∠C=60°
求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析:考虑求出AB,然后转化为①的情形解题.
解:作直径AD,连结BD.作AE⊥BC,垂足为E.
则∠DBA=90°,∠D=∠C=60°,CE=AC=1,AE=,
BE=BC-CE=2,AB==
∴AD===
∴△ABC外接圆⊙O的半径为.
③已知三边
例5如图,已知,在△ABC 中,AC=13,BC=14,AB=15
求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析:作出直径AD,构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE,利用相似三角形就可以求出直径AD.
解:作直径AD,连结BD.作AE⊥BC,垂足为E.
则∠DBA=∠CEA=90°,∠D=∠C
∴△ADB∽△ACE      ∴
设CE=x, ∵AC2-CE2=AE2=AB2-BE2  ∴132-x2=152-(14-x)2    x=5,即CE=5
∴AE=12    ∴    AD=      ∴△ABC外接圆⊙O的半径为.
二、求三角形的内切圆的半径

1、直角三角形
例6已知:在△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c
求△ABC外接圆⊙O的半径.
解:可证四边形ODCE为正方形.设⊙O的半径为r,
则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r,  ∴(a-r)+(b-r)=c,
∴r=,即△ABC外接圆⊙O的半径为.

2、一般三角形
①已知三边
例7已知:如图,在△ABC 中,AC=13,BC=14,AB=15
求△ABC内切圆⊙O的半径r.
分析:考虑先求出△ABC的面积,再利用“面积桥”,从而求出内切圆的半径.
解:利用例5的方法,或利用海伦公式S△=(其中s=)可求出S△ABC=84,从而AB•r+BC•r+AC•r=84, ∴r=4
②已知两边夹一角
例8已知:如图,在△ABC 中,cotB=,AB=5,BC=6
求△ABC内切圆⊙O的半径r.
分析:考虑先通过解三角形,求出△ABC的面积及AC的长,再利用“面积桥”,从而求出内切圆的半径.
解:作△ABC的高AD.解直角三角形可得AD=3,CD=2,AC=,
因为AB•r+BC•r+AC•r=BC•AD, 可求得r=
③已知两角夹一边
例9已知:如图,在△ABC 中,∠B=60°,∠C=45°,BC=6
求△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1)
分析:思路方法同上,读者可完成.
总之,只要通过边、角能确定三角形,就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。

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