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正整数 在各级各类数学中,方程整数解的问题备受关注,它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合,涉及面宽、范围广,往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧.一般地,在不定方程的求解中,不定方程有无数组解. 但是,若加上限制条件如整数解等,就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解,所以下面就介绍几种常用的不定方程整数解求解法.
例1方程■+■=■的正整数解的组数为()
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解答选D. 理由:由题设得xy=7(x+y),即(x-7)(y-7)=49.
又由于49=1×49=49×1=7×7=(-7)×(-7)=(-1)×(-49)=(-49)×(-1).
以上6种分解法中,只有前三种有正整数解,故得正整数解有3组.
例2一个直角三角形边长都是整数,它的面积和周长的数值相等. 试确定这个直角三角形三边的长.
解答设a,b分别为两条直角边长,则斜边长c=■.由于a,b,c均为正整数,所以a≠b.不妨设a>b,依题意有a+b+■=■,移项后两边平方并整理得■-a2b-ab2+2ab=0,即ab-4a-4b+8=0. 从而(a-4)·(b-4)=8=1×8=2×4. 由于a,b为正整数,a>b,则a-4=8,b-4=1,或a-4=4,b-4=2.解得a=12,b=5,c=13或a=8,b=6,c=10.
所以,这个直角三角形三边的长为(12,5,13)或(8,6,10).
例3 求方程■=■的所有整数解.
解答以x为主元,将方程整理为3x2-(3y+7)x+(3y2-7y)=0. 。