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连续的 第七节 函数的连续性与间断点一、函数的连续性
1． 增量：变量从初值变到终值，终值与初值的差叫变量的增量，记作，即＝－。（增量可正可负）。
例1 分析函数当由变到时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义
定义１：设函数＝在点的某个邻域内有定义，如果自变量的增量=趋向于零时，对应的函数增＝也趋向于零，则称函数＝在点处连续。
定义２：设函数＝在点的某个邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，即，则称函数＝在点处连续。
定义
3：设函数＝在点的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式：，则称函数＝在点连续。
注：
1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数在点连续，必须同时满足下列三个条件：
（1） 函数＝在点的某个邻域内有定义（函数＝在点有定义），
（2）存在；
（3）。
3．函数＝在点处左连续、右连续的定义：
（1）函数＝在点处左连续在内有定义，且（即）。
（2）函数＝在点处右连续在内有定义，且（即）。
显然，函数＝在点处连续函数＝在点处既左连续又右连续。
(3)、函数＝在点处连续是存在的充分条件，而非必要条件。
3、函数在区间上连续的定义
定义
4：如果函数＝在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数＝在该区间上是连续的。
例
1：讨论下列函数在区间内的连续性
（1）
（2）
（3）
例
2：设，试确定的值，使函数在处连续。
二、函数的间断点
（一）．间断点概念：设函数在内有定义（在点处可以无定义），如果函数在点处不连续，则称点为函数的一个间断点（或不连续点）。
函数在点连续： 函数在点不连续：
（1）函数在点有定义， （1*） 函数＝在点没有定义
（2）存在； （2*）不存在
（3） （3*）存在，但在点没有定义， 或
（二）.间断点的分类
设为函数的一个间断点，
1、第一类间断点
，都存在，
（1）若=，即存在，此类间断点称为可去间断点。
函数在点无定义，函数在点有定义，但。
（2）若，即不存在，此类间断点称为跳跃间断点。
2. 第二类间断点
与中至少有一个不存在。
其中有两类特殊的间断点：无穷
间断点和振荡间断点。
例
3：讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型
（1）
（2）
（3）
（4）。