网站地图
【www.arisingsemi.com--实用文档】
参数方程t的几何意义 极坐标与参数方程一、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
练习
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（
1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程
如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，
它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准方程为其参数方程为，其中
焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为
7．直线的参数方程
经过点，过，倾斜角为的直线的参数方程为。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，＞0；当点在下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
北京高考近几年真题
（2014年北京.3题5分）答案：B
二、极坐标方程
1.极坐标系的概念
(1)极坐标系
极坐标系有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．
如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.
一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.
特别地,
当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.
2.极坐标和直角坐标的互化
例题、直角坐标为(－，)、（0，2）那么它的极坐标分别表示为________、
极坐标为（2，）、（1，0）那么他们的直角坐标表示为 、
1.答案： 、（2，）
答案：，（1,0）
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点
直角坐标
极坐标
互化公式
在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.
（1） 点的转化
1、直角坐标为(－，)、（0，2）那么它的极坐标分别表示为________、
极坐标为（2，）、（1，0）那么他们的直角坐标表示为 、
1.答案： 、（2，）
答案：，（1,0）
（2）方程的转化
2、在极坐标系中，直线: ρsin＝2，则直线在直角坐标系中方程为
在极坐标系中,圆O: ρ＝4,则在直角坐标系中，圆的方程
直线l与圆O相交，所截得的弦长为________．
答案：(1)因为 ,
所以直线 的直角坐标方程为 ,即 ,
圆 的直角坐标方程为 .
(2)由(1)知圆心的坐标是 ,半径是4,圆心到直线的距离是 .
所以直线 被圆 截得的弦长是 .
3、若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
4、求满足条件的曲线极坐标方程
(1)直线过点M(1，0)且垂直于x轴 (2)直线过M（0，a）且平行于x轴
(3)当圆心位于M(a,0)，半径为r (4)当圆心位于M，半径为
2：
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为的圆
圆心为,半径为的圆
圆心为,半径为的圆
过极点,倾斜角为的直线
(1)
(2)
过点,与极轴垂直的直线
过点,与极轴平行的直线
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.
北京高考近几年真题
（2017年北京.11题5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为 ．
（2013年北京.09题5分）在极坐标系中，点到直线ρsin θ＝2的距离等于__________．
9．(2013北京，理9)在极坐标系中，点到直线ρsin θ＝2的距离等于__________．
答案：1
解析：在极坐标系中，点对应直角坐标系中坐标为(，1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y＝2，所以点到直线的距离为1.。