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偏导数存在的条件 教学目的：使学生掌握隐函数存在定理，掌握隐函数的求导法则教学重点：一个方程的隐函数的求导法则
教学过程：
隐函数存在定理1
设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有
求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式
F(x f(x))0
等式两边对x求导得
由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得
例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值
解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)
隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数
隐函数存在定理2
设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0 则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有
公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0
将上式两端分别对x和y求导 得
因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得
例2. 设x2y2z24z0 求
解 设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4
在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数
事实上 xuyv0
如何根据原方程组求u v的偏导数。
隐函数存在定理3
设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列式
在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有
隐函数的偏导数:
设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的
二元函数uu(x y) vv(x y) 则
偏导数 由方程组确定
偏导数 由方程组确定
例3 设xuyv0 yuxv1 求 和
解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于和的方程组
当x2y2 0时 解之得
两个方程两边分别对x 求偏导 得关于和的方程组
当x2y2 0时 解之得
另解 将两个方程的两边微分得
即
解之得
于是
例4 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数 又
(1)证明方程组
在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)
(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数
解 (1)将方程组改写成下面的形式
则按假设
由隐函数存在定理3 即得所要证的结论
(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得
将上述恒等式两边分别对x求偏导数得
由于J0 故可解得
同理 可得
。