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参数方程t的几何意义 直线的参数方程在解题中的应用松桃苗族自治县第三高级中学 孙涛
摘 要：理解并掌握直线参数的转化，弄清参数的几何意义。直线的参数方程应用十分广泛，特别是在计算直线与圆锥曲线的相交弦的弦长时，不必求出交点坐标，根据参数的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，达到事半功倍的效果，优化解题思路。
关键词：直线；参数方程；圆锥曲线；应用
在高中数学必修二和选修1-1中都学习了直线的方程和圆锥曲线的内容，它们都是高考的重点内容，也是学生学习的难点之一，若将两者结合起来，复杂的推理和大量的运算更使学生望而生畏。如果通过直线方程的另一种形式——参数形式，则可能使问题的解决变得简单了，而且可以让我们从一个崭新的角度去认识这些问题。
直线的参数方程在数学解题中的应用非常广泛.随着新一轮高中教材的改革,它的运用又呈现在人们的视线中.事实上用直线的参数方程表示直线在处理某些直线与圆锥曲线的位置关系等问题时有它独到的优势,下面我通过几道解析几何综合题的解法来谈谈如何用直线的参数方程来优化解题.
一、求直线上点的坐标问题
例：直线（为参数）上到点的距离为且在点下方的点的坐标是_________.
分析：此参数方程并不是直线参数方程的标准形式，因此先化成标准形式。
解：把参数方程化成标准方程为把看作参数，所求的点在的下方，所以取，即，所以所求点的坐标为.
答案：
例：求点A（−1，−2）关于直线l：2x −3y +1 =0的对称点A" 的坐标。
分析：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。
解：由条件，设直线AA" 的参数方程为 (t是参数)，
∵A到直线l的距离d =， ∴ t = AA" =，
代入直线的参数方程得A" (−，)。
二、求定点到过定点的直线的距离问题
例： 一直线过，倾斜角，求此直线与直线的交点与之间的距离.
解析：设直线的参数方程为（为参数）
将它代入已知直线得：
解得
根据的几何意义可知
例：直线l过点P(1，2)，其参数方程为 (t是参数)，直线l与直线 2x +y −2 =0 交于点Q，求。
分析：本题如用常规做法是有难度的，而用参数方程则很容易。但本题并不是直线参数方程的标准形式，所以要先化成标准形式。
解：将直线l的方程化为标准形式，（t"为参数）
代入 2x +y −2 =0得 t" =，
根据的几何意义可知
∴= | t"| =。
例：经过点P(−1，2)，倾斜角为的直线 l与圆相交于A，B两点，求和的值。
分析：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。
解：直线l的方程可写成，代入圆的方程整理得：
t2 +t−4=0，
设点A，B对应的参数分别是t1 ，t2，则t1 +t2 = −，t1 ·t2 = −4，
根据的几何意义可知
= |t1| +|t2| = | t1 −t2| = = 3，
=| t1 · t2 | = 4。
三、求中点问题
例： 经过点作直线，交椭圆于,两点。
如果点恰好为线段的中点，求直线的方程。
解：设过点的直线的参数方程为（为参数）
代入椭圆方程，整理得
由的几何意义知，。因为点在椭圆内，这个方程必有两个实数根，所以
因为点为线段的中点，
，
即
于是直线的斜率为
直线的方程是
即
例：如图所示，已知直线过点，斜率为，直线和抛物线相交于,两点，设线段的中点为，求：
（1）,间的距离；
（2）点的坐标。
解：
（1）由题意，知直线过点，斜率为，
设直线的倾斜角为，则，cos=,
直线的参数方程为（为参数）
直线和抛物线
将直线的参数方程代入抛物线方程中，整理得：
，
设这个方程的两个根为，
由根与系数的关系得，
为线段的中点，根据的几何意义，得
(2) 中点所对应的参数为
将此值代入直线的参数方程得
即
四、弦的等分点问题
这类问题通常是过曲线内一点M作一在线截得弦AB，使得P为弦AB的等分点，那么这时利用，数量之间的关系，结合根与系数的关系处理就较为简单。
例： 过点作曲线的弦,若为的三等分点，则所在的直线方程为________________
解析：设直线参数方程为（为参数），代入曲线方程，得：
……
……
为椭圆内弦的三等分点
，， ……
由得
可求得，则
：
五、求解弦长问题
例：已知直线：与抛物线交于,两点，求线段的长和点到,两点的距离之积。
分析:本题先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.
解：直线过定点,且的倾斜角为，
可设直线的参数方程为（为参数）
即
（为参数）
把它代入抛物线方程，得
解得，
由的几何意义得
例： 已知点平分抛物线的条弦，求弦的长。
分析：求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数的几何意义即可求得结果。
解：设弦所在的直线参数方程为
（为参数）
代入方程整理得：
……
点是弦的中点，由参数的几何意义可知，方程的两个实根满足关系，
即
，
点评：应用直线的参数方程求弦长要注意直线的参数方程应为标准形式；要注意直线倾斜角的取值范围。
六、求直线与曲线相交的离心率
例：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若，求则椭圆的离心率。
分析：转化成直线参数方程中的 t1= −2t2或|t1| =2|t2|。
解：设椭圆方程为，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为，代入椭圆整理可得：(b2 +a2)t2 − b2ct −b4 = 0，由于t1= −2t2，则，①2×2+②得：，将b2 =a2 −c2代入，
8 c2 = 3 a2 + a2 −c2，得，故e =。
七、证明四点共圆
这类问题主要应用相交弦定理或割线定理。
例： 过不在椭圆上任意一点作两条在线，分别交椭圆于,和,四点，若，的倾斜角为，，且
求证：, , ,四点共圆
证明：设，直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程
得
由的几何意义和根与系数的关系可得
同理若设直线的参数方程（为参数），代入椭圆可得
即
, , ,四点共圆
例：已知点，是椭圆上不同的两点，线段的中点为。
（1）求直线的方程；
（2）若线段的垂直平分线与椭圆相交于,两点，试问四点, , ,是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由。
解析：
（1）利用弦中点知识，易求得直线的方程为
（2）注意到的斜率为，倾斜角为，
所以可设直线的参数方程为 （为参数）
设的参数方程为 （为参数）
分别代入椭圆方程得：，可知四点共圆，再利用圆的知识可知弦为该圆的直径，从而求得圆的方程为
八、 求点的轨迹问题
例：已知双曲线 ，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。
分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。
解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：
由题意t1 +t2=0，即得。
又直线P1P2的斜率 ，点P（2，1）在直线P1P2上，
∴即为所求的轨迹的方程。
总之，在研究点与点的距离或线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，直线的参数方程为 (t为参数). 的几何意义是直线上任意一点到定点的距离.此时,若t>0,则的方向向上;若t