网站地图
【www.arisingsemi.com--考研考博】
变上限积分 【摘 要】积分变限函数是一种特殊形式的函数，它和普通函数一样同样具有各种运算性质及其运算，如极限、导数、极值、积分等。利用积分变限函数的性质和运算证明积分不等式是非常好的一种方法，本文通过若干例题探讨证明积分不等式一种有力的方法——“变限法”。【关键词】积分不等式；积分变限函数；变限法
【中图分类号】G642
【文献标识码】A
【文章编号】1671-8437
（2019）10-0016-02
含有积分形式的不等式，也就是通常所说的积分不等式，是考研、数学竞赛中经常遇到的一类证明问题，它是高等数学中比较难证明的一类不等式，往往具有较高的技巧性。一般来说，对于这类题目，学生往往难于下手。
其实积分不等式的证明有很多思路，比如利用单调性、最值，微分中值定理、定积分性质、二重积分等。本文通过若干例题探讨证明积分不等式一种非常有力的方法--“变限法”。
一、关于积分变限函数的有关定理和结论
定理：若函数在上连续，，
二、“变限法”例证积分证明不等式
所谓“变限法”，就是根据命题不等式，构造适当的辅助函数，辅助函数为积分变限函数，再利用积分变限函数的求导及其他数学知识积分证明不等式。
例1 设、均是上的连续增函数，证明：
分析：第一步，作辅助函数，将证明的结论中的积分上限换成，式中相同的字母也换成，移项使不等式一端为0，则另一端的表达式即为所做的辅助函数；第二步，求辅助函数的导数，并判断的单调性；第三步，求出在端点的函数值，进而得出题目的证明。
证明：作积分变限函数
因为均是上的连续增函数，所以
，从而，故在上单调减少。
又因为，所以，即：。
