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sin角度公式 学习目标 1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握测量高度的常见方法.3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题.知识点一 测量仰角(或俯角)求高度问题
思考 如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB。(已知测角仪器的高是h)
答案 解题思路是：在△ACD中，＝
所以AC＝，
在Rt△AEC中，AE＝ACsin α，AB＝AE＋h.
梳理 问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α，β，m表示AE的长，所得结果再加上h.
知识点二 测量方向角求高度
思考 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西75°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在北偏西65°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?
答案 先在△ABC中，用正弦定理求BC＝，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan 8°.
梳理 问题本质如图，已知三棱锥 D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α，β，m，γ表示DC的长.
1.在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针.(×)
2.在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.(√)
类型一 测量仰角(或俯角)求高度问题
例1 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A.10 m B.5 m
C.5(－1) m D.5(＋1) m
考点 解三角形求高度
题点 测量俯角(仰角)求高度
答案 D
解析 方法一 设AB＝x m，则BC＝x m.
∴BD＝(10＋x) m.
∴tan∠ADB＝＝＝.
解得x＝5(＋1) m.
∴A点离地面的高AB等于5(＋1) m.
方法二 ∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
由正弦定理，得AC＝·sin ∠ADC
＝·sin 30°＝.
∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1) m.
反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.
(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.
跟踪训练1 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为______ m.(精确到1 m)
答案 811
解析 如图，过点D作DE∥AC交BC于E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝＝＝1 000 (m).
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m).
答 山的高度约为811 m.
类型二 测量方向角求高度问题
例2 如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
考点 解三角形求高度
题点 测量俯角(仰角)求高度
解 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，
得AD＝＝＝800(＋1)(m).
即山的高度为800(＋1) m.
反思与感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.
跟踪训练2 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )
A.10 m B.10 m
C.10 m D.10 m
考点 解三角形求高度
题点 测量方向角、仰角求高度
答案 D
解析 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
BC＝＝10 (m).
在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10 (m).
类型三 航海问题
例3 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船。
并求出所需时间.
考点 解三角形求距离
题点 测量方向角求距离
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A
＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.
∴BC＝.又∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
又∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
又∵∠BCD∈(0°，60°)，∴∠BCD＝30°，
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.
∴t＝小时≈15分钟.
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.
反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.
跟踪训练3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇。
考点 解三角形求距离
题点 测量方向角求距离
解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at(海里)，
AC＝at(海里)，
B＝90°＋30°＝120°，
由＝，得
sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°